二次剩余的概念解释
数论基本概念之一。若a、m的***公约数为1〔记为(a，m）=1〕，m整除（x^2－a）〔记为x^2≡ a（mod m）〕有解，则称a为模m的二次剩余（或平方剩余）； 否则，称a为模m二次非剩余（或平方非剩 余）。解一般二次同余式ax2+bx+c≡0（mod m）的问题可归结为解x^2≡n（mod m）问题（见同余）。欧拉给出了判别条件：若p是奇素数，（a，p）=1，则a是模p的二次剩余的充分必要条件为a ^ (( p - 1) / 2)≡1（mod p ）；a是模p的二次非剩余的充分必要条件为a ^ (( p - 1) / 2)≡-1（modp)。称{k|0k≤m，（k，m）=1}为m的 简化剩余系。显然当m是奇素数p时，其简化剩余系令p－1个数 。若p是奇素数，a是整数，令
称为勒让德符号。若p，q为不同的奇素数，则
，
称为二次互反定律。它是初等数论中非常重要的结果，不仅可用来判断二次同余式是否有解，还有很多用途。C.F.高斯称它为算术中的宝石，他一人先后给出多个证明。
在数论中，特别在同余理论里，一个整数 X 对另一个整数 p 的二次剩余（英文：en:Quadratic residue）指 X 的平方 X2 除以 p 得到的余数。
当对于某个d及某个X，式子 X^2 equiv d pmod{p} 成立时，称“d是模p的二次剩余”
当对于某个d及某个X，X^2 equiv d pmod{p} 不成立时，称“d是模p的二次非剩余”
二次剩余
我们只需研究形如 的同余方程即可.
当 时，（3）仅有一个解 . 所以下面我们总假定 .
如果同余方程(3)有解，则称 是 模 的二次剩余 （在不引起混淆时，简称为二次剩余）；否则称 时模 的二次非剩余（简称二次非剩余）
如果同余方程（3）有解，则同余方程（3）恰有两个解. 此外，若 是二次剩余，则模 同余类 中每个数都是二次剩余. 对于二次非剩余也是如此.
对每个整数 ，定义
设 时奇素数，则模 的任意完系中恰有 个二次剩余，以及 个二次非剩余；并且模 的全部二次剩余在
所属的模 的同余类中.
设 为素数，则模 的两个二次剩余之积时二次剩余，模 的一个二次剩余和一个而二次非剩余之积是而此非剩余，模 的两个二次非剩余之积是二次非剩余，模 的两个而此非剩余之积是二次剩余。
设 为奇素数，则
设 为奇素数，则
设 为奇素数，则
整数与多项式-【目录】
模p的所有二次剩余怎么表示
模p的所有二次剩余表示：在数论中，特别在同余理论里，一个整数X对另一个整数p的二次剩余指X的平方X2除以p得到的余数。
只要素数p和q中有一个mod4余1，则5261q是4102p的二次剩余当且仅当p是q的二次剩余；q是p的非二次剩余当1653且仅当p是q的非二次剩余。
当p和q均mod4余3时，q是p的二次剩余当权且仅当p是q的非二次剩余，q是p的非二次剩余当且仅当p是q的二次剩余。
每个二次剩余的乘法
逆元仍然是二次剩余；二次非剩余的乘法逆元仍然是二次非剩余。二次剩余的个数与二次非剩余的个数相等，都是。此外，两个二次非剩余的乘积是二次剩余，二次剩余和二次非剩余的乘积是二次非剩余。应用二次互反律可以知道，当p模4余1时，-1是p的二次剩余；如果p模4余3，那么，-1是p的二次非剩余。
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