何谓质数？什么数是质数？
不是。 质数是除了1和自己外无数可以整除佢 例如: 2除了1和自己(2)之外就无数可以整除佢 佢都是唯一一个质数是双数 3除了1和自己(3)之外就无数可以整除佢 p.s 0和1系一个特别的数 佢既唔系质数
都唔系合成数(除了1和自己之外仲有数可以整除佢的数~) 什么数是质数？ 事实上有无限咁多个质数
只系发现到未的问题~ 2
3
5
7
11
13
17
19
23...... 多数6的倍数的前一后一都是质数~ 6-1=5 6+1=7 12-1=11 12+1=13 不过只系多数~ 有唔明再问~
一个大于 1 的整数
如果祇能. 被 1 或自己整除
则我们称该数为「质. 数」
如果数可以被其他数
例如2
3
5... ...
这些数就不是质 数了。
参考: 已有的小学知识
素数，又称质数，是只有两个正因数（1和自己）的自然数。 比1大但不是质数的数称之为合数，而1和0既非质数也非合数。质数的属性称为素性，质数在数论中有着非常重要的地位。 目录 [隐藏] * 1 关于质数 * 2 质数的数目 * 3 寻找质数 * 4 检验质数 * 5 未解之谜 * 6 质数的应用 * 7 外部连结 [编辑] 关于质数 最小的质数是2，而***的质数并不存在，这一点欧几里德已在其《几何原本》中证明。 围绕质数存在很多的数学问题、数学猜想、数学定理，较为著名的有孪生质数猜想、哥德巴赫猜想等等。 质数序列的开头是这样： 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113 (OEIS:A000040) 质数 *** 有时也被表示成粗体 P。 在抽象代数的一个分支－环论中，素元素有特殊的含义，在这个含义下，任何质数的加法的逆转也是质数。换句话说，将整数Z的 *** 看成是一个环，-Z是一个素元素。不管怎样，数学领域内，提到质数通常是指正质数。 算术基本定理说明每个正整数都可以写成质数的乘积，因此质数也被称为自然数的「建筑的基石」例如： 23244 = 2^2 * 3 * 13 * 149 关于分解的详细方法，可见于整数分解这条目。 这个定理的重要一点是，将1排斥在质数 *** 以外。如果1被认为是质数，那么这些严格的阐述就不得不加上一些限制条件了。 [编辑] 质数的数目 质数是无穷多的，对这个论断，现在所已知的最古老的检验方法是欧几里德在他的几何原本中提出来的。他的检验方法可以简单地总结如下： 取有限个数的质数，因为要做自变数我们假设全部的质数都存在，将这些质数相乘然后加1，得到的数是不会被这些质数中的任何一个整除的，因为无论除哪个总会余1。因此这个数要么本身就是个质数，要么存在不在这个有限 *** 内的约数。因此我们开始用的 *** 不包含所有的质数。 别的数学家也给出了他们自己的证明。欧拉证明了全部质数的倒数和发散到无穷的。恩斯特·库默的证明尤其简洁，Furstenberg用一般拓扑证明。 尽管整个质数是无穷的，仍然有人会问「100000以下有多少个质数?」，「一个随机的100位数多大可能是质数?」。质数定理可以回答此问题。 [编辑] 寻找质数 寻找在给定限度内的质数排列，埃拉托斯特尼筛法法是个很好的方法。然而在实际中，我们往往是想知道一个给定数是否是质数，而不是生成一个质数排列。进而，知道答案是很高的机率就是已经很满意的了，用素性测试迅速地检查一个给定数（例如，有几千位数的长度）是否是质数是可能的。典型的方法是随机选取一个数，然后围绕着这个数和可能的质数N检查一些方程式。重复这个过程几次后，它宣布这个数是明显的合数或者可能是质数。这种方法是不完美的：对某些测试而言，例如费马测试，不论选取了多少随机数都有可能将一些合数判断成可能的质数，这就引出了另一种数伪质数。而像米勒-拉宾测试，虽然只要选取够多数字来检验方程式，就可以保证其检验出的质数性是正确的，但这个保证门槛的数量太过庞大，甚至比试除法所需的sqrt{N}还要多，在有限时间内运行起来只能知道答案正确的机率很高，不能保证一定正确。 目前***的已知质数是230402457 − 1（此数字位长度是9
152
052），它是在2005年12月15日由GIMPS发现。这组织也在2005年2月18日发现了目前所知第二大的已知质数225964951 - 1（此数字位长度是7
816
230）。 数学家一直努力找寻产生质数的公式，但截至目前为止，并没有一个基本函数或是多项式可以正确产生所有的质数。历史上有许多试验的例子：17世纪初法国数学家梅森(Mersenne)在他的一个著作当中讨论了这样一种我们现在称之为梅森质数的质数，Mp=2p - 1，本来以为只要p是一个质数，n = 2p - 1就会是一个质数，这在p = 3，p = 5，p = 7都是正确的，但是p = 11时 2^11-1=2047=23* 89就不是质数了。 [编辑] 检验质数 检查一个正整数N是否为质数，最简单的方法就是试除法，将该数N用小于等于√N的所有质数去试除，若均无法整除，则N为质数。 2002年，印度人 M. Agrawal 、N. K***al 以及 N. Saxena 提出了 AKS 质数检验演算法，证明了可以在多项式时间内检验是否为质数。 [编辑] 未解之谜 * 哥德巴赫猜想：是否每个大于2的双数均可写成两个质数之和？ * 孪生质数猜想：孪生质数就是差为2的质数对，例如11和13。是否存在无穷多的孪生质数？ * 斐波那契数列是否存在无穷多的质数？ * 是否存在无穷多梅森质数？ * 在n^2与(n + 1)^2之间每隔n就有一个质数？ * 是否存在无穷个形式如n^2 + 1的质数？ * 黎曼猜想 [编辑] 质数的应用 质数近来被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找质数的过程），将会因为找质数的过程（分解质因数）过久而无法解读信息。
参考: zh. *** /wiki/%E8%B3%AA%E6%95%B8
不能被其他的『数』量尽者为质数，而『1』不是数（表示与欧氏的 定义并无矛盾）；也说质数乃数之源，所有的数皆可由质数生成。从这个角度来看质 数也有元素之意，故有些书本称之为『素数』。Niachus认为所谓质数，除了被分 成与自身同名的份数外别无分法，如3只能分成3份，5只能分成5份，故3和5是质数， 是否暗示了自身可除自身的概念便不得而知了。但Niachus认为质数必须是奇数， 所以2不是质数，3才是最小的质数;毕氏学派也认为2不算质数，而是偶数之源。然而 根据《几何原本》，2亦满足质数之定义（Iamblichus）。亚里斯多德也认为2是唯一 的偶数质数。 至于『1』算不算质数？古今的答案倒是契合。现在的说法是：为了描述定理和公式 的「方便」，我们不把1当质数（教师手册***册），例如破坏了算数基本定理的唯 一性;而在古希腊这可是有凭有据的：『1』连数都不是，遑论质数。
参考: math.ntnu.edu/~horng/letter/vol2no4b
质数不是除不尽的数，那叫无限小数，质数是指除自己外不能再被其他整数整除的整数。 如：1
3
5
7
11
13... 2006-11-08 23:14:22 补充： 我以上的回答有些问题，1非质数，2才是， 一时手误打错，质数是指除自己和1外不能再被其他整数整除的整数。
质数是除了自己本身同1之外
冇其他因数
就叫质数
质数的规律有哪些?
质数的规律
什么是质数？就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的约数，这种整数叫做质数，质数又叫做素数。这终规只是文字上的解释而已。能不能有一个代数式，规定用字母表示的那个数为规定的任何值时，所代入的代数式的值都是质数呢？
质数的分布是没有规律的，往往让人莫明其妙。如：101、401、601、701都是质数，但上下面的301和901却是合数。
有人做过这样的验算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有这样一个公式：设一正数为n，则n^2+n+41的值一定是一个质数。这个式子一直到n=39时，都是成立的。但n=40时，其式子就不成立了，因为40^2+40+41=1681=41*41。
被称为“17世纪最伟大的法国数学家”费尔马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=14292967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。但是，就是在F5上出了问题！费尔马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5=14292967297=641*6700417，并非质数，而是合数。
更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的***值为：n=1495。这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。质数和费尔马开了个大玩笑！
17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1代数式，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。
还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721*761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。
现在，数学家找到的***的梅森数是一个有378632位的数：2^1257787-1。数学虽然可以找到很大的质数，但质数的规律还是无法循通。
头五千万个质数
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【摘要】不按牌理出牌 数学家也拿他没办法
质数怎样分布？古今中外，不论是专业的数学家或业余的嗜好者，都曾被这问题所深深吸引。
质数是个比1大的自然数，除了自身和1以外，没有其他自然数可以除尽他。质数的分布有两个互相矛盾的特点。下面我会列举一些事实，使你永远相信这两个特点。
***点，尽管质数的定义极为简单，又是自然数的建构砖石（任何自然数都可表为质因数的幂次的连乘积，且表法唯一），它却是数学家研究的对象中最不驯的一种；质数在自然数中，像杂草似地乱长，似乎除了机会律以外，不遵守其他的规律，没人敢说下一个会从那里冒出来。
第二点更令人惊讶，因?T篕P***点相反，质数表现出惊人的规律性。也就是说，确有规律限制质数的行为，他们像军人一样绝对服从这些规律。
为了支持***点，我把100以下的质数和合数写出来（除了2以外，不列偶数）：
【浏览原件】
再把1千万加减一百以内的质数列出：在9,999,900与10,000,000之间的质数
9,999,901
9,999,907
9,999,929
9,999,931
9,999,937
9,999,943
9,999,971
9,999,973
9,999,991
在10,000,000与10,000,100之间的质数
10,000,019
10,000,079
你看！没有什麼理由可以说这个数是质数，那个数不是质数。当你看到这些数字时，是否联想到宇宙的奥秘，像天边那闪烁的星星一样神秘不可测？甚至数学家都无法揭开此一奥秘，如果他们能够，他们就不会劳神苦思去计算下一个更大的质数是多少了。（没有人会想去找比前一个平方数更大的平方数，或2的幂次数——通常一个好学生只记到210=1024）。
1876年，Lucas证明2127-1为质数，这纪录维持了75年。这也难怪，因为
2127-1
=1701411834604469231731687303715884105727
直到1951年，电子计算机的新纪元，更大的质数陆续发现（见下表历次记录）。目前的记录是6002位的219937-1，不信的话，你可以去查Guiness世界记录。（编者注：根据合众国际社1978年11月15日报导，这记录已被两个18岁的加州大学学生打破。）
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质数的规律
更有趣的，还是关於质数的规律。前面已提到过100以下的质数，现在用图表示，其中π(x)表示所有不大於x的质数的个数。
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就这麼简单的一个图，我们已经可以看出，除了一些小的扰动以外，π(x)大致上增加得很有规律。
若把x值从一百增到五万，则此规律性变得更为明显。见下图：
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当某种规律自然出现时，科学家就得设法去解释它，质数分布的规律性也不例外。关於质数分布，我们不难找到一个良好的经验规律。请看下表：（这表看来平凡无奇，却代表上千小时的艰苦计算。）
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注意：x每增10倍，x与π(x)的比就增加约2.3。机警的数学家立刻联想到10取自然对数的近似值是2.3。所以x/π(x)～logx，亦即π(x)～x/logx（用log x表示x的自然对数，～表示当x接近无穷大时，π(x)与x/logx的比趋近於1；如果用≈，则表示接近的程度更好。）
质数定理
这个关系叫做质数定理，是高斯1791年发现的，但直到1896年才得到证明。高斯（1777～1855年，关於高斯与质数定理，请参阅凡异出版社，伟大数学家的一生——高斯）14岁那年收到一本对数的书；次年，研究书上所附的质数表，发现了这个定理。终其一生，高斯一直很注意质数分布，并且花了很多功夫去计算。高斯写信给他学生安克（Encke）说他「时常花费零星的片刻计算1000个连续整数（如18001到19000）中有多少质数」，最后他竟能列出三百万以下的所有质数，并且拿来和他的推测公式比较。
质数定理说π(x)是渐近地，即相对误差趋近於0，等於x/logx。但是如果拿x/logx与π(x)的图形加以比较，则可看出，虽然x/logx反映了π(x)行为的本质，却还不足以说明π(x)的平滑性。
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所以，我们希望找到更佳的近似函数。如果我们再仔细看看前面那个表，会发现x/π(x)差不多恰为logx-1。经过更小心地计算，并和π(x)的更精密数据相较，乐强何（Legendre）在1808年找到特佳的近似。即
π(x)≈x/(log-1.08366)
另有一种π(x)的近似函数也不错，是高斯与质数定理同时提出的。从经验得知，当x很大时，在x附近出现质数的或然率差不多恰为1/logx。因此，π(x)差不多应为
对数和：Ls(x)=1/log2+1/log3+…+1/logx或实值上相同的
对数积分：【浏览原件】
现在再比较Li(x)与π(x)的图形，把座标轴的尺度取到这麼大时，两者完全重合。
没有必要再把乐强何的近似图形列出来给大家看，因为在0到5万之间，他的近似比Li(x)更加接近π(x)。
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质数的幂次
再提一个π(x)的近似函数。从黎曼（Riemann）研究质数的结果显示，如果我们在计算质数以外，还计算质数的幂次（质数的平方算半个质数，质数的立方算1/3个质数，依此类推），则一个很大的数x为质数的或然率将更接近1/logx。从此导出
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或
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第二式右边的函数定名为R(x)以纪念黎曼。从下表可以看出它与π(x)有惊人的吻合。
【浏览原件】
R(x)可以表为
【浏览原件】
在这里要强调一点，高斯和乐强何的近似都是由经验归纳而来的，不是由逻辑证明得到的。甚至黎曼函数也是如此，虽然他的R(x)有理论的解释，他从未证明出质数定理。Hadamard以及de la Vall'eePoussin根据黎曼的工作，继续研究，终於在1896年首度完成证明。
孪生质数
关於质数的规律性，我们再来看一些数值的例子。前面说过，在x附近的一个数其为质数的或然率为1/logx。换句话说，假使取一以x为中心，长度为a的区间，这区间长得足以使统计成为有意义，而与x相较，又足够小时，其中质数的个数，应该约为a/logx。例如，在壹亿至壹亿零壹拾伍万之间，预计有8142个质数，因为
150,000/log(100,000,000)=150,000/18.427… ≈8142
根据同样的想法，在x附近的任意两数同时为质数的或然率应约为1/(logx)2。所以如果有人问在x到x＋a之间有多少孪生质数（连续两个奇数都是质数，如11,13或59,61），则我们可以预计有a/(logx)2个。事实上，我们可以预计多些，因为n已是质数，使n＋2为质数的可能性稍稍加大。（例如n＋2必为奇数）。用一个容易的直观的论点，可以得到在〔x,x＋a〕中，孪生质数的对数为C．a/(logx)2，此处C＝1.3203236316…。
所以在壹亿至壹亿零壹拾伍万之间应有(1.32…)．150,000/(18.427)2≈584对孪生质数。下表列出一些同长区间中质数及孪生质数的预测值及真值。由下表可以看出，理论和实际有极佳的吻合。对於孪生质数而言，这种吻合更令人惊讶。因为孪生质数是否为无穷，这问题直到现在尚无定论，遑论他的分布定律了。
【 浏览原件】
质数的距离
关於质数分布的规律性，最后一个例子就是相邻两质数的距离。若有人去查质数表，会注意到有时距离相当大。例如113和127之间无其他质数。令g（x）表x以下，所有相邻质数的***距离。则g（200）＝127-113＝14。当然，g（x）增加得极不规则。但是用一个直觉的论点可以得到下列渐近公式，g(x)～(logx)2。从下图可以看出，像g（x）这样极不规则的函数，其行为和预测能符合的程度。
【 浏览原件】
到现在为止，质数的规律性说得较多，不规律性说得很少。而本文标题「头五千万个质数」，我也只提到前几千个而已。所以现在先列一表，比较π(x)，乐强何，高斯，黎曼四函数在x小於一千万范围内的差异。因为这四种函数在图上分辨不出差异，如前面所列π(x)与Li的比较图，所以现在这图只表示这三种函数与π(x)的差。我想从这图足以看出，一个有志研究数论的人可能遇到的麻烦有多大。当x很小时（小於一百万），x/logx-1.08366比Li（x）近似π(x)，但是五百万以后，Li（x）变得较近似，而且可以证明当x更增加时，Li（x）总是较近似π(x)。
【 浏览原件】
就算我们讨论到一千万，其中也只有60万多个质数。要达到应许的五千万个质数，x必须为十亿。下图表示十亿以内R(x)-π(x)的图形。R(x)-π(x)的振动变得愈来愈大，但即使到十亿这麼大，振动仍在几百以内。
【 浏览原件】
顺便提另一个π(x)的趣事。从图上可以看出，在一千万以内，Li（x）总是大於π(x)，10亿以内仍然如此。见下图（此图以对数尺寸绘出）。
【 浏览原件】
上图给我们一个印象，当x继续增加时，Li（x）-π(x)会稳定地无限增加。但是上述推测错了！事实上，立特伍（Littlewood）可以证明有某x值，而π(x)会大於Li（x）。但到目前为止，并未真正找到一个确数，使此事成立，而且恐怕永远不会找到。但是立特伍的证明不可能有误，而且Skewes更证明在【浏览原件】以内就有一个这样的数。英国名数学家Hardy有一次说，这可能是数学上有确定目的的数字中***的了。总而言之，此例说明了，在质数理论里，仅仅依赖数据就想要导出结论的作法是多麼不智啊！
〔本文节译自“The First 50 million Prime Numbers”，原文刊登在The New Mathematical Intelligencer, Vol. 0, Aug. 1977，为原作者Don Zagier就任德国波昂大学教授的就任演说稿。〕
怎么得出x大于等于-1小于等于4的？
解:(x+1)(x-4)≤0，有x+1≥0，且x-4≤0，或x+1≤0，且x-4≥0，得:-1≤x≤4或4≤x≤-1，即大于等于4又小于等于-1的数不存在，则-1≤x≤4
质数的定理
在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间(a, 2a]中）必存在至少一个素数。 存在任意长度的素数等差数列。 一个偶数可以写成两个合数之和，其中每一个合数都最多只有9个质因数。 一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中合数的因子个数有上界。 一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为 (1 + 5) 一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为 (1 + 2) 6（x）+-1=（p P） 6乘以完全不等数加减1是一对孪生素数，其中，6（X-1=（P 6乘以阴性不等数减去1等于阴性素数，6X）+1=P） 6乘以阳性不等数加上1等于阳性素数。（X=/=6NM+-（M-N）阴性不等数不等于阴性上下两式，X）=/=6NM+-（N+M）阳性不等数不等于阳性上下两式。（x)=/=6NM+-(M+-N) 完全不等数不等于阴阳上下四式产生的数。（N，M两个自然数，N=《M）
关于质数的定理
神奇的质数：4567, 124567, 3214567, 23456789, 55566677, 1234567894987654321, 11111111111111111111111，20170807，19970227，19980227……
关于质数的小知识：
1.质数的个数无限多（不存在***的质数素）
证明：反证法，假设存在***的质数P，那么我们可以构造一个新的数2 * 3 * 5 * 7 *… *P + 1（所有的质数乘起来加1）。显然这个数不能被任一质数整除（所有质数除它都余1），这说明我们找到了一个更大的质数。
快速版
大数质因子模板：
数学上的质数的定义
质数（prime number）又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积；而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。
质数定理：在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间(a, 2a]中）必存在至少一个素数。存在任意长度的素数等差数列。（格林和陶哲轩，2004年 ）
一个偶数可以写成两个合数之和，其中每一个合数都最多只有9个质因数。（挪威数学家布朗，1920年）
一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中合数的因子个数有上界。（瑞尼，1948年）
一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为 (1 + 5) (中国潘承洞，1968年)
一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为 (1 + 2) (中国陈景润）
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