求极限的方法有哪些?
一、利用极限四则运算法则求极限
函数极限的四则运算法则:设有函数,若在自变量f(x),g(x)的同一变化过程中,有limf(x)=A,limg(x)=B,则
lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B
lim[f(x)・g(x)]=limf(x)・limg(x)=A・B
lim==(B≠0)
(类似的有数列极限四则运算法则)现以讨论函数为例。
对于和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则,但使用这些法则,往往要根据具体的函数特点,先对函数做某些恒等变形或化简,再使用极限的四则运算法则。方法有:
1.直接代入法
对于初等函数f(x)的极限f(x),若f(x)在x点处的函数值f(x)存在,则f(x)=f(x)。
直接代入法的本质就是只要将x=x代入函数表达式,若有意义,其极限就是该函数值。
2.无穷大与无穷小的转换法
在相同的变化过程中,若变量不取零值,则变量为无穷大量?圳它的倒数为无穷小量。对于某些特殊极限可运用无穷大与无穷小的互为倒数关系解决。
(1)当分母的极限是“0”,而分子的极限不是“0”时,不能直接用极限的商的运算法则,而应利用无穷大与无穷小的互为倒数的关系,先求其的极限,从而得出f(x)的极限。
(2)当分母的极限为∞,分子是常量时,则f(x)极限为0。
3.除以适当无穷大法
对于极限是“”型,不能直接用极限的商的运算法则,必须先将分母和分子同时除以一个适当的无穷大量x。
4.有理化法
适用于带根式的极限。
二、利用夹逼准则求极限
函数极限的夹逼定理:设函数f(x),g(x),h(x),在x的某一去心邻域内(或|x|>N)有定义,若①f(x)≤g(x)≤h(x);②f(x)=h(x)=A(或f(x)=h(x)=A),则g(x)(或g(x))存在,且g(x)=A(或g(x)=A)。(类似的可以得数列极限的夹逼定理)
利用夹逼准则关键在于选用合适的不等式。
三、利用单调有界准则求极限
单调有界准则:单调有界数列必有极限。首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性,再求解方程,可求出极限。
四、利用等价无穷小代换求极限
常见等价无穷小量的例子有:当x→0时,sinx~x;tanx~x;1-cosx~x;e-1~x;ln(1+x)~x;arcsinx~x;arctanx~x;(1+x)-1~x。
等价无穷小的代换定理:设α(x),α′(x),β(x)和β′(x)都是自变量x在同一变化过程中的无穷小,且α(x)~α′(x),β(x)~β′(x),lim存在,则lim=lim。
五、利用无穷小量性质求极限
在无穷小量性质中,特别是利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量的性质求极限。
六、利用两个重要极限求极限
使用两个重要极限=1和(1+)=e求极限时,关键在于对所给的函数或数列作适当的变形,使之具有相应的形式,有时也可通过变量替换使问题简化。
七、利用洛必达法则求极限
如果当x→a(或x→∞)时,两个函数f(x)与g(x)都趋于零或趋于无穷小,则可能存在,也可能不存在,通常将这类极限分别称为“”型或“”型未定式,对于该类极限一般不能运用极限运算法则,但可以利用洛必达法则求极限。
极限的求法
求极限的方法总结如下:
1、抽象数列求极限这类题一般以选择题的形式出现,因此可以通过举反例来排除。此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。
2、具体的求极限,可以用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性;其次,通过递推关系中取极限,解方程,从而得到数列的极限值。
3、如果数列极限能看成某函数极限的特例,形如,则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解。
4、若可以找到这个级数所对应的幂级数,则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出,再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。
5、若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项可用一个通项表示,则可以考虑用定积分定义求解数列极限。
由定义求极限
极限的本质――既是无限的过程,又有确定的结果。一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论,另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验证其结果。不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值,因此由定义法求极限就有一定的局限性,不适合比较复杂的题。
利用函数的连续性求极限
此方法简单易行但不适合于f(x)在其定义区间内是不连续的函数,及f(x)在x0处无定义的情况。
求极限的方法?
1、***个重要极限的公式:
lim sinx / x = 1 (x-0)当x→0时,sin / x的极限等于1。
特别注意的是x→∞时,1 / x是无穷小,无穷小的性质得到的极限是0。
2、第二个重要极限的公式:
lim (1+1/x) ^x = e(x→∞)当x→∞时,(1+1/x)^x的极限等于e;或当x→0时,(1+x)^(1/x)的极限等于e。
求极限基本方法有:
1、分式中,分子分母同除以***次,化无穷大为无穷小计算,无穷小直接以0代入。
2、无穷大根式减去无穷大根式时,分子有理化。
3、运用洛必达法则,但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大,或无穷小比无穷小,分子分母还必须是连续可导函数。
求极限的八种方法,详细回答多奖励50财富值
1、基本的定义法,ε--δ法,是一切方法的基础。
2、夹逼法,f1≤f≤f2恒成立,且f1、f2有相同的极限,则也是f的极限;
3、洛必达法则,求0/0,∞/∞,0.∞型极限;
4、积分、微分法;两边同时积分或微分,结果逆求一下
5、函数法,g(f(x))有极限A,则f(x)的极限=g^(-1)(A),
6、等价代换法,f(x)/g(x)的极限=1,可以互换。
7、利用已知的极限。化成相同形式。
8、连分数法,可以用于求分式极限。
N的相应性
一般来说,N随ε的变小而变大,因此常把N写作N(ε),以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的:(比如若nN使|xn-a|ε成立,那么显然nN+1、n2N等也使|xn-a|ε成立)。重要的是N的存在性,而不在于其值的大小。
求极限的几种类型与方法
极限的类型一共有五种,分别是零比零型,无穷大比无穷大型,零乘无穷大型,一的无穷大次方型,还有定积分类型。
具体的求解方法如下:
1、零比零型,可用洛必达求解。
2、无穷大比无穷大型,可用洛必达。
3、零乘无穷大型,把无穷或零放到分母上,化为零比零型或无穷大比无穷大型。
4、一的无穷大次方型,利用指数转换来求解。
5、定积分类型,可用洛必达求解。首先他的使用有严格的使用前提!必须是 X 趋近而不是N 趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,当然 n 趋近是 x 趋近的一种情况而已,是必要条件(还有一点数列极限的 n 当然是趋近于正无穷的, 不可能是负无穷 !
求函数极限的方法
函数的极限求解方法如下:
1、利用函数连续性。
limf(x)=f(a)x-a(就是直接将趋向值带出函数自变量中,此时要要求分母不能为0)
2、恒等变形。
当分母等于零时,就不能将趋向值直接代入分母,可以通过几个小方法解决,因式分解,通过约分使分母不会为零。若分母出现根号,可以配一个因子使根号去除。
以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的,如果趋向于无穷,分子分母可以同时除以自变量的***次方。(通常会用到这个定理:无穷大的倒数为无穷小)
函数极限的定义
函数极限的定义是某一个函数中的某一个变量,此变量在变大(或者变小)的永远变化的过程中,逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”的过程中,此变量的变化,被人为规定为“永远靠近而不停止”,其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
函数极限是高等数学最基本的概念之一,导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。
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